Page 9 - МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

наближення x (x ) і т. д. Якщо одержано наближення
2 1
x n 1 , наступне наближення x знаходиться за формулою
n
x n (x n 1 ), n 3 , 2 , 1 ,... (1.3)
Якщо функція (x неперервна і одержана послідовність x
)
n
збігається, то її границя буде, очевидно, коренем рівняння
(1.2). Достатні умови збіжності ітераційного процесу до
точного значення кореня даються наступною теоремою:
Теорема.
)
Нехай: 1) функція (x визначена і неперервна на ;[ ba ];
2) для всіх x [a ;b ] (x ) [a ;b ];
3) існує q 1 таке, що при всіх x [a ;b ] | ( x |) q .
Тоді ітераційний процес (1.3) збігається незалежно від вибору
x [a ; ] b і x * lim x n є єдиним і однократним коренем
0
n
рівняння (1.2) на ;[ ba ].
При цьому похибка методу простої ітерації оцінюється
формулою
q q n
| x * x | | x x | | x x | (1.4)
n
1 q n n 1 1 q 1 0
Нерівність (1.4) дає можливість після першої ж ітерації
оцінити число ітерацій N ( ) для обчислення кореня з

заданою точністю :
1 ( q)
lg
x x
N )( 1 0 .
lg q
1
При q оцінка (1.4) спрощується:
2
| x * x n | | x n x n 1 | (1.5)
Рівняння (1.1) може бути зведене до виду (1.2) так: замінимо
рівняння (1.1) еквівалентним x x f (x ) і виберемо так,
щоб функція (x ) x f (x ) задовольняла умовам теореми.
Якщо f (x ) зберігає знак на ;[ ba ] і 0 m | f ( x |) M , то при

8