Page 7 - МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

Лабораторна робота № 1
Наближене розв’язування рівнянь

Задача розв’язування нелінійних рівнянь часто
зустрічається при вивченні загальнотехнічних і спеціальних
дисциплін, в інженерній практиці. Відшукати точний
розв’язок рівняння можна лише в деяких частинних випадках.
Причому навіть у цих випадках формули для знаходження
коренів рівняння бувають настільки громіздкими, що
користуватись ними важко. Крім того, константи, які входять
в рівняння, часто відомі наближено і точне значення кореня
все одно доводиться замінювати його наближеним значенням.
Тому при розв’язуванні рівнянь використовуються методи, які
дозволяють одержати наближений розв’язок з будь- якою
заданою точністю.
Нехай задано рівняння
( ) 0f x . (1.1)
Припускаємо, що рівняння (1.1) має тільки ізольовані
корені, тобто для кожного кореня існує окіл, який не містить
інших коренів цього рівняння.
Наближене обчислення дійсних коренів рівняння (1.1)
складається з двох кроків:
1. відокремлення кореня - виділення відрізка, який належить
області визначення функції (xf ) , на якому розташований
один і тільки один корінь;
2. уточнення значення кореня, тобто обчислення його з
заданою точністю.
Процес відокремлення коренів грунтується на таких
досить очевидних фактах: якщо неперервна функція f (x )
приймає на кінцях відрізка [a ;b ] значення різних знаків,
тобто f (a ) f (b ) 0, то всередині цього відрізка міститься
принаймні один корінь. Цей корінь буде єдиним, якщо на
відрізку [a ;b ] функція f (x ) монотонна, тобто її похідна
f (x ) не міняє знак на (a ;b ) . Відокремлення кореня рівняння
(1.1) можна виконати графічно, якщо вдасться побудувати

6