Page 46 - МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

n n n
a x i 2 b x i x i y ,
i
i 1 n i 1 i 1 (8.1)
n
a x i nb y .
i
i 1 i 1
Ця система має єдиний розв’язок. При знайдених значеннях a
і b величина (aS ,b ) досягає свого мінімуму.
Приклад.
Методом найменших квадратів знайти функцію виду
y ax b, яка виражає наближено залежність між x та y за
даними таблиці.
X 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50
Y 19.65 16.28 13.60 11.05 8.91 8.51 6.10 3.55 2.14 0.75
Розв’язок.
Знаходимо коефіцієнти системи (8.1). Для цього
доцільно скласти таблицю (таблиця 8.1)
Таблиця 8.1
2
i x y x y x
i
i
i
i
i
1 1.00 19.65 19.35 1.00
2 1.50 16.28 24.42 2.25
3 2.00 13.60 27.2 4.00
4 2.50 11.05 27.625 6.25
5 3.00 8.91 26.73 4.00
6 3.50 8.51 29.785 12.25
7 4.00 6.10 24.4 16.00
8 4.50 3.55 15.975 20.25
9 5.00 2.14 10.7 25.00
10 5.50 0.75 3.75 30.25
32.5 90.65 210.235 126.25

Одержуємо систему:
126 . 25a 32 5 . b 210 . 235

32 5 . a 10b 90 . 54
Із другого рівняння знаходимо: b . 9 054 . 3 25 a .
Підставляємо у перше: 126 . 25a 32 . 9 ( 5 . 054 . 3 25 ) 210 . 235

45