Page 69 - Семенцов Г

задовольняються, тоді існує константа С, що є незалежною від Т і
z(t), така, що будь-який розв’язок системи (6.13)-(6.14)
задовільняє в просторі L 2 , 0 ( T ) (для T ) наступну нерівність
u C z .
Крім того, всі розв’язки у(t) є такі, що: y L 2 , 0 ( ), y (t ) є
обмеженою, і lim y (t ) . 0
t
Доведення леми 1: Перше ми доведемо, що u C z і
константа С не залежить ні від Т ні від z(t).
Позначимо скалярний добуток і нормаль в просторі
2
L (0,Т) наступним чином:
T
x, y x( t) y( t) dt, u x , y .
T T T
0
Для T індекс Т в скалярному добутку або в нормалі може
бути опущений. Після скалярного множення обох сторін
інтегрального рівняння (6.13) на u, стосовно нерівності (6.14) ми
отримаємо
1 u 2 G *u ,u z ,u G *u ,u z u , (6.15)
K T T T T
де символ “*” означає інтеграл згортки. Вважаємо, що
u L 2 , 0 ( T ). Оскільки G L 1 , 0 ( ) L 2 , 0 ( ), то одержимо
наступні нерівності
G *u ,u u 2 , u L 2 , 0 ( T ), T , 0 (6.16)
T 1 T
€
де 1 inf Re G ( jw ) . Перетворюючи нерівність (6.15) і беручи в
w
розрахунок (6.16), ми дістанемо
2 2
u u G* u, u z u ,
T T T T T
де
1 inf Re G ( jw ) 1 . 0
€
K 1 w K
1
Отже, отримаємо u z і не залежить від Т.
T T
Оскільки, z L 2 , 0 ( ) то u L 2 , 0 ( ). Зараз ми використаємо
припущення, що імпульс відповідає G L 1 , 0 ( ) і функції

72