Page 34 - 84

При повороті осей на кут  (проти ходу годинникової
стрілки) моменти інерції змінюються відповідно до формул
I  I I  I
I  x y  x y cos 2   I sin 2  ;
 x 2 2 xy
I x  I y I x  I y
I y   2  2 cos 2   I xy sin 2  ; (5.10)

I x  I y
I x  y   sin 2   I xy cos 2  .
2
Зверніть увагу, що інваріантом при повороті осей є сума
осьових моментів інерції:
I x  I y  I  I  const (5.11)
y
x
 
Очевидно, що існують осі, щодо яких I і I приймають
x y
найбільші і найменші значення. Положення цих осей
визначається кутом  , що знаходиться з рівняння
1
I xy I 2 xy
tg 1   , або tg 2 1  , (5.12)
I  I I  I
max y y x
а самі екстремальні значення визначаються за формулою
2
I  I I   I 
I  x y   x y   I 2 . (5.13)
max   xy
min 2  2 
Осі, відносно яких осьові моменти інерції приймають
екстремальні значення, називаються головними. Необхідно
звернути увагу на те, що відносно головних осей відцентрові
моменти інерції дорівнюють нулю. Справедливий і зворотний
висновок, тобто якщо відносно яких-небудь осей
відцентровий момент інерції дорівнює нулю, то ці осі будуть
головними й осьові моменти інерції відносно цих осей
визначаються згідно (5.13).
Для характеристики інерційних властивостей перерізу
часто вводяться так звані радіуси інерції
I I y
r  x , r  (5.14)
y
x
F F
Зіставлення формул перетворення моментів інерції (5.10) і
напружень (3.2) говорить про структурну аналогію. Для