Page 20 - 6913

у х у
-
+
х i гр х i гр
z i z i
y i y i

–х х i х –х х i х
–у –у

а) б)

Рисунок 2.1 – Розташування коренів характеристичного
рівняння (а) та області працездатності (б)

Таким чином, умовою працездатності буде | x – x | > 0, де
i
i
x – переміщення і-го кореня внаслідок зміни стану системи. Так
i
як дійсна частина кореня характеризує запас стійкості і ступінь
затухання перехідних процесів, то умови працездатності можна

задати як обмеження допустимої степені наближення коренів до
-
-
+
уявної осі., тобто  x  |x – x |,  x  |x – x | , де x – граничне
i
i
ігр
i
ігр
i
ігр
значення (рис. 2.1,б).
Аналогічним чином можна задати умови працездатності і
деяких нелінійних систем. Якщо працездатність системи
забезпечується обмеженням якісних показників перехідних
процесів, то умови працездатності можна отримати в
комплексній площині, обмеживши допустимі переміщення
коренів характеристичного рівняння лініями рівних значень
заданих показників (наприклад коефіцієнта демпфування, власної
частоти). Так в системах, що описуються рівняннями другого
порядку, лінії рівних значень власної частоти  ,  ,  в3
в1
в2
являють собою сімейство концентричних кіл з центром в початку
координат, а лінії різних значень коефіцієнту демпфування  ,  ,
2
1
 – сімейство прямих, що проходять через початок координат
3
(рис. 2.2).
Оскільки будь-яка пара комплексних коренів виражається як

2
,
p   1 
1,2
 1  2 
то фазовий кут   arctg   і, відповідно, cos =.
  
 

20