Page 38 - 6850

jα
З допомогою формули Ейлера (cosα + j sinα = е ) можна перейти від
показникової форми запису до алгебричної:
с е jα = с cos α + jс sin α = a+jb (a = с cos α; b=с sin α). (3.21)
Від алгебричної форми запису до показникової форми застосовують
співвідношення:
b b
2
2
с = a  b ,   arctg при a ≥ 0 і   arctg   при a < 0.
a a
jα
– jα
Два комплексні числа с = a+jb = с е і с* = a-jb = с e називаються
спряженими.
Співвідношення, необхідні при роботі з комплексними числами:
o 180 o  180 o o
j
а)1 e , б) 1 e  j  e j ,в)1= jj*, г) j   1 e j 90 , д)
1 1  j 90 o
 j   e .
j  1
Множення будь-якого вектора на символ ( j ) повертає цей вектор на
0
90 за годинниковою стрілкою, множення на символ (- j ) відповідає повороту
вектора на кут π/ 2 за рухом годинникової стрілки.
Як відомо з курсу математики операція диференціювання зводиться до
множення, а інтегрування– до ділення комплексного числа, яке зображує
функцію, на jω.
jβ
j α
Дії над комплексними числами а = а 1+ jа 2 = ae і b = b 1+ jb 2 = = b e
виконують за формулами:
а ± b = (а 1 ± b 1) + j(а 2 ± b 2); (3.22)
j β
j α
а · b = ae · b e = ab e j (α + β)
; (3.23)
 j
a ae a j (  )
  e . (3.24)
b be  j b
При роботі з комплексними числами необхідно пам’ятати, що додавання і
віднімання комплексних чисел зручно виконувати в алгебричній формі
запису:



A  A  A  a  jb  a  jb  a  a  j b  b  a  jb ,(3.25)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
а множення і ділення – в показниковій формі запису:



A  A  A  A e  j 1  A e  j 2  A e j    2   A e  j , (3.26)
1
1 2 1 2


1
A  A 1  A 1 e  j 1  A 1 e j    2   A e  j . (3.27)

A A e  j 2 A
2 2 2
При знаходженні аргумента доцільно визначити розміщення вектора
комплексного числа на комплексній площині. Комплексне число, наприклад

A  6  4 j , знаходиться в першому квадранті площини (рисунку 3.3,а). Тоді
1
аргумент  1  arctg  ab .

2
2
A  6  j 4  6  4 e jarctg  64   2 , 7 e j 33 4 0 .
1

38