Page 24 - 6760

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 5

Тема: сплайн-інтерполяція

Технічне забезпечення: ПЕОМ середовище програмування
Короткі теоретичні відомості

x
f
Нехай на відрізку a , b  задається неперервна функція   і
розрахункова сітка
a x  x  x ...  x  x  b, (5.1)
0 1 2 N1 N
а також значення   в вузлах x :
f
x
i
f  f   ix ,  1 , 0 ,..., N (5.2)
i i
Кубічним сплайном, який відповідає функції   та вузлам
x
f
f називається функція   xs , яка відповідає умовам:
i
а)   xs є многочленом степеня 3 на кожному сегменті  ,xx i 1  i ;

б)   sxs ,    sx ,     Cx   ba; ;
в)   fxs i  , i  1 , 0 ,..., N .
i
 x
На кожному з відрізків x , , i  2 , 1 ,..., N функція   xs набуває
i 1
i
виду:
c 2 d 3
s   ax   b x  x  i x  x   i x  x 
i i i i i
2 6 (5.3)
x  x  x
i1 i
Очевидно:
a  s   bx ,  s   cx ,  s   dx ,  s   ax  ,  f . (5.4)
i i i i i i i i i i i i i
З умови неперервності функції   xs та її похідних, маємо:
c 2 d 3
a  a  b x  x   i 1 x  x    i 1 x  x  , (5.5)
i  i 1  i 1 i  i 1 i  i 1 i  i 1
2 6
вводячи позначення xh i i x :
1  i
h 2 h 3
h b  i c  i d  f  f , i  N (5.6)
i i i i i 1  i 2 , 1 ,...,
2 6
для першої та другої похідної умови три діагон дають:
d 2
c i h i  i h i  b i  b , i  3 , 2 ,..., N (5.7)
1  i
2
d h c c , i  N (5.8)
i i i 1  i 3 , 2 ,...,
Рівняння (5.5)–(5.8) утворюють систему з 3 N 2 рівнянь

відносно N3 невідомих b , c , d , i  2 , 1 ,..., N .
i
i
i

24