Page 41 - 6705

u  
 x  ,  z  , (7.2)
x  z 
а деформації зсуву (повороту двох граней) становитимуть:

u  
 xy   x   z   . (7.3)
x  z 
Диференціюючи перше з рівнянь (7.2) двічі по z, а друге – двічі по x і
рівняння (7.3) – по x та z, отримуємо рівняння:

2
2
2
  x    y    xy . (7.4)
z  2 x  2  x z
Вираз (7.4) називають умовою спільності деформацій.

Враховуючи відомі з опору матеріалів співвідношення між  ,  і  та
x z xz
 ,  і  для випадку плоскої задачі, можна отримати умову спільності
x z xz
деформацій в наступному вигляді:

2
2
  x    z   1  X  Z 
 , (7.5)

x 2 z 2 1    x z 
де  – коефіцієнт Пуассона.
Два рівняння (7.1) і умова (7.5) є основними рівняннями теорії пружності,
які дозволяють визначити шукані напруження  ,  і  . Для їхнього
x z xz
однозначного розв’язання необхідно ще ввести граничні умови. Наприклад, для
випадку на рисунку 7.1 при z 0 та x   a розв’язок матиме вигляд:
  0 ,   q ,   0.
x z xz
Можна звести розв’язок трьох рівнянь до одного, ввівши особливу
функцію напружень  , яка задовольняє наступним умовам:
е
2
2
2
     
  е ,   е ,    е . (7.6)
x 2 z 2 xz
z  x   x z
Тоді рівняння (7.5) можна представити у вигляді:
4
4
4
     
е  2 е  е  0. (7.7)
x 4 x 2 z 2 z 4
Якщо використовувати полярні координати, то рівняння (7.7) можна
записати у вигляді:

2
2
  2 1  1  2     1  1   
       е   е   е   0, (7.8)
 2 r r 2 2   2 r r 2 2 
 r r    r r  
де r,  – відповідно радіус і кут, які визначають положення точки з
координатами x та z в полярних координатах.

35