Page 7 - 6412

5

2 Теоретичні основи математичного моделювання
технічних систем і процесів

2.1 Основні поняття теорії математичного моделювання

Важливим фактором, що визначає роль математики в прикладних питаннях, у
тому числі і в техніці, є можливість опису найбільш суттєвих рис і властивостей
досліджуваного об'єкта на мові математичних символів та співвідношень. Такий опис
прийнято називати математичним моделюванням.
Математичною моделлю реального об'єкта (явища, системи) називається його
спрощена ідеалізована схема, складена за допомогою математичних символів і
операцій (співвідношень).
Отже, для отримання математичної моделі спочатку вводиться система буквених
позначень елементів реального об'єкта, а потім, на основі вивчення існуючих
взаємозв'язків між цими елементами, складаються математичні співвідношення
(рівняння, нерівності та ін.).
Відмітна особливість та позитивна якість математичних моделей полягає в
наступному:
по-перше, вони позбавляють від необхідності проведення дорогих експериментів,
що супроводжуються, як правило, багатократними випробуваннями і помилками;
по-друге, формалізація дає можливість поставати реальну задачу як математичну,
що дозволяє використовувати для аналізу універсальний і потужний математичний
апарат, який не залежить від конкретної природи об'єкта;
по-третє, математичні методи дають можливість проводити детальний кількісний
аналіз моделі, допомагають передбачити поведінку об'єкта в різних умовах, а отже
виробити рекомендації для вибору оптимальних (найкращих) варіантів розв'язання
проблеми.
Побудова формальних моделей, їх аналіз і висновки щодо практичних
рекомендацій одне з головних завдань прикладної математики. Складність технічних
систем і процесів перевищує поріг, до якого будується точна математична теорія. Не
існує універсальних методів побудови математичних моделей. Можна сформулювати
лише деякі загальні принципи і вимоги до таких моделей. Найбільш основні з них такі:
- адекватність (відповідність моделі своєму оригіналу);

- об'єктивність (відповідність наукових висновків реальним умовам);
- простота (не засміченість моделі другорядними факторами);
- чутливість (здатність реагувати на зміну початкових параметрів);
- стійкість (незначне збурення вихідних параметрів повинно відповідати
незначній зміні в рішенні задачі);
- універсальність (широта області застосування).
Математична модель нетотожна самому об'єкту, а є його наближеним
відображенням. Ніяка окремо взята модель не може цілком повно і правильно
відобразити всі властивості складних реальних технічних систем і процесів.