Page 54 - 6383

Звідси для компонентів тензора деформацій одержимо
 11 =  1W 1 = 0 ;  12 = 0,5 W/  =  21
 22 =  2W 2 = Wr; (16.54 )
 13 = 33 = 23 = 0.
Величина першого інваріанту тензора деформацій визначиться з виразу:
3
 1() =  ij g ij =  i,j=1  ij g ij (16.55)
де g ij – компоненти матриці, оберненої до матриці
З
відси,
після 1 0 0
деяких
перетв 0 r 0 (16.56)
2
орень,
одерж 0 0 1
имо:


1() = W / r (16.57)
Тепер розрахунок напружень ми можемо виконати, використовуючи
закон Гука:
ij
p = g ij W / r + 2 ij, (16.58)
де ,  – параметри Ламе, пов'язані з модулем пружності Юнга -Е та
коефіцієнтом Пуассона –  залежностями
 = E / (( 1 +  )( 1 - 2 ) (16.59)
 = E / 2(1 + ) (16.60)

E = (3 + 2) /( + ) (16.61)
 = /2( + ) (16.62)
Звідси, після перетворень, формули для розрахунку фізичних компонент
тензора напружень можемо представити у вигляді :
rr

P =  W / r P = (  + 2 )W/r
r
zz
P =  W/r P = ( W/ )/r (16.63)
rz
z
P = P = 0
Розрахунок W/  можна виконати, використовуючи інтерполяційний
кубічний сплайн для таблично заданої функції W ().
Можливість застосування сучасних три координатних вимірювальних
систем при визначенні компонент вектора переміщень дозволяє, наприклад у
випадку із ЗОРВ, розглянути цю задачу й у більш точній постановці, яка
враховує крім радіальних u(R, j) як у попередній постановці, так і тангенціальні

v(R,) переміщення. Нехай :
 – деяка область;
+
 – зовнішня границя, на якій задаються переміщення v(R 1, ), u(R 1, );
-
 – внутрішня границя, на якій задані переміщення v(R 2,), u(R 2,).
Вважаємо, що деформації та напруження задовольняють умову закону
Гука у формі (16.54).

54