Page 16 - 6376
P. 16
= . (12)
0
Це рівняння і виражає теорему Гауса в диференціальній формі.
Запис багатьох формул і дії над ними значно спрощуються, якщо ввести векторний
диференціальний оператор ∇ (оператор Гамільтона). Оператор ∇ в декартових координатах
має вигляд
+ + , (13)
∇= i
де i , , – орти осей , , . Сам по собі вектор ∇ змісту не має. Він набуває зміст тільки у
зв’язку з скалярною або векторною функцією, на яку символічно множиться. Так, наприклад,
якщо вектор ∇ помножити скалярно на вектор , то отримаємо
+ + ,
∇ ∙ = ∇ + ∇ + ∇ =
а це є не що інше, як , згідно (11).
Таким чином, дивергенція поля може бути записана як або ∇ ∙ (в обох
випадках читається як «дивергенція »). Будемо користуватися другим, більш зручним
позначенням. Тоді, наприклад, теорема Гауса буде мати вигляд
. (14)
∇ ∙ =
0
В диференціальній формі теорема Гауса є локальною теоремою: дивергенція поля
у даній точці залежить тільки від густини електричного заряду у тій же точці і більше ні
від чого. У тих точках поля, де дивергенція додатна, ми маємо джерела поля (додатні
заряди), а у тих точках, де вона від’ємна – стоки (від’ємні заряди). Лінії вектора виходять з
джерел поля, а в місцях стоків вони закінчуються.
