Page 15 - 6376

Як неважко довести, поле у середині зарядженої сфери дорівнює нулю.
20.8. Теорема Гауса в диференціальній формі. На відміну від форми (8) – її

називають інтегральною – ми будемо шукати диференціальну форму теореми Гауса, в якій

встановлюється зв’язок між об’ємною густиною заряду і змінами напруженості в околі
даної точки простору.
Для цього представимо спочатку заряд в об’ємі , що охоплюється замкненою

поверхнею , як вн = , де – середнє по об’єму значення об’ємної густини заряду.
Потім підставимо цей вираз в рівняння (8) і розділимо обидві його частини на . В

результаті отримаємо

1

= . (9)
0

Тепер спрямуємо об’єм до нуля, стягуючи його до точки поля яка нас цікавить.
Очевидно, що при цьому буде прямувати до значення у даній точці поля, а значить,

відношення у лівій частині рівняння (9) буде прямувати до .

0

Величину, яка є границею відношення до при → 0, називають

дивергенцією поля і позначають . Таким чином, за визначенням

1

= lim . (10)
→0

З визначення (10) слідує, що дивергенція є скалярною функцією координат.

Щоб отримати вираз для дивергенції поля , потрібно згідно 10 взяти нескінченно

малий об’єм , визначити потік вектора через замкнену поверхню, що охоплює цей об’єм,
і знайти відношення цього потоку до об’єму. Отриманий вираз для дивергенції буде

залежати від вибору системи координат (у різних системах координат він є різний).

Наприклад, в декартовій системі координат

= + + . (11)

Отже, при → 0 у виразі (9) його права частина прямує до , а ліва – до . Отже,

0

дивергенція поля пов’язана з густиною заряду у тій же точці рівнянням