Page 99 - 6374

Якщо фазові співвідношення не беруться до уваги, то гармонічні коливання зручно

зображати у вигляді спектрів (рис. 4). Для цього на осі абсцис відкладають частоти, а на осі
ординат – їхні амплітуди. Такий графік однозначно зображує спектр частот і спектр

амплітуд. Для суто гармонічного руху спектр складався б з єдиної вертикальної лінії.

Оскільки суто гармонічних рухів не існує, то реальний спектр завжди складний.
Коли рух наближається до гармонічного, то спектр являє собою вузьку смугу скінченної

ширини, яка охоплює групу частот від  − ∆ до  + ∆. Величина ∆ може становити
мільйонні частки від , але не дорівнюватиме .

Коливання також зображають фазовою траєкторією. Щоб отримати фазову

траєкторію, на осі ординат відкладають швидкість руху = , а на осі абсцис – зміщення

коливальної точки. Кожному коливному руху в момент часу на площині відповідає точка з

координатами , . Таку площину називають фазовою. З часом точка переміщується і описує
фазову траєкторію, рівняння якої задається залежністю = (). Знайдемо фазову

траєкторію гармонічного коливання для якого

= cos + , = − sin + . (15)
0
0

Піднесемо до квадрату і почленно додамо ці вирази. Маємо

2 2
+ = 1. (16)
2 2

На фазовій площині рівняння (16) описує еліпс з півосями і . Для коливань
трикутної форми фазова траєкторія прямокутник, оскільки напрям швидкості змінюється

стрибкоподібно на протилежний у кожній поворотній точці руху. Недоліком зображення
коливальних рухів за допомогою фазової траєкторії є неможливість безпосереднього

уявлення коливального процесу у часі. Однак з суто геометричних уявлень фазові траєкторії
або їхні сукупності дають можливість зробити важливі висновки про властивості коливань.

Для коливань, які описуються нелінійними диференціальними рівняннями, метод фазових

траєкторій часто єдиний для їх дослідження.
При вивченні гармонічних коливань приходиться їх додавати, розкладати на

складові, розв’язувати складні рівняння. Все значно спрощується якщо використати теорію

комплексних чисел і представлення гармонічних коливань в комплексній формі.