Page 140 - 4776

яка називається формулою Стокса, де

напрямні косинуси нормалі до
поверхні , а контур пробігається в додатному напрямі
(проти годинникової стрілки, якщо дивитись з кінця вибраної
додатною нормалі).
Доведення. Перетворимо криволінійний інтеграл

взятий по контуру , в інтеграл по поверхні .
Розглянемо спочатку криволінійний інтеграл

Оскільки контур лежить на поверхні , то
координати його точок задовольняють рівняння , і тому
значення функції в точках контура дорівнюють значенням
функції у відповідних точках контура . Проекції відповідних
ділянок розбиття контурів і на вісь співпадають. Тому
співпадають інтегральні суми для криволінійних інтегралів
другого роду по координаті від функції по контурах і , а
отже, рівні і інтеграли

Далі, застосовуючи формулу Гріна, маємо

140