Page 52 - 4729

Для задачі нелінійного програмування при відсутності обмежень

*
необхідною умовою того, що u – точка локального мінімуму задачі є наступні:
*
– функція (uR ) диференціюється в точці u ;
*
– ▼R(u )=0.
*
Достатньою умовою того, що u – точка локального мінімуму є наступна:

2
 R (u * )  0, тобто матриця Геcсе – додатньовизначена (для випадку
2
максимума матриця Геcсе від’ємно визначена). Якщо величина u T  R (u ) u 0

для всіх u, то (uR ) називається випуклою функцією, а локальний мінімум стає

глобальним.

Множники Лагранжа можна використати для побудови критеріїв

оптимальності для задач оптимізації з обмеженнями у вигляді рівностей. Кун і

Таккер узагальнили цей підхід на випадок загальної задачі нелінійного

програмування з обмеженнями як у вигляді рівностей, так і у вигляді

нерівностей. Кун і Таккер побудували необхідні і достатні умови

оптимальності, виходячи із припущення про диференціальність функції (uR ), g j

i n j. Теорема Куна-Таккера застосовується тільки для такого класу задач, для

яких градієнти активних обмежень лінійно незалежні.
*
Для того, щоб точка u була локальним мінімумом задачі, необхідно, щоб

*
*
існували вектори w ,  , які б задовольняли умови:
g (u *)  , 0 i  , 1 ; g (6.2)
i

h ( u*)  , 0 j 1 , m; (6.3)
j

w * g ( u*)  i , 0  q , 1 ; (6.4)
i i
w *  i , 0  q , 1 ; (6.5)
i
L (u ,w , )  0, (6.6)

де (uL , w , )– узагальнена функція Лагранжа, яка визначається як:

w m
L( u, w, )  R )( u   w i g ( u)    i h ( u)
j
i
 i 1  j 1
Умови Куна-Таккера можуть тільки встановити не оптимальність точки,

оскільки вони необхідні. Достатні умови локального мінімума записуються як:

51