Page 49 - 4617

Приклад 2. ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ

x
де    – деформація пружини у поточному положенні.
ст
Пов’яжемо між собою прискорення циліндра і клина. Оскільки
точки контакту обох тіл, через які передається рух, здійснюють
складний рух, то за теоремою Коріоліса
a  1 a  r a  e a cor ,

де a – прискорення відносного руху точки циліндра по поверхні
r
клина, a  a – прискорення переносного руху цієї ж точки цилін-
e
2
дра разом з клином, a cor  0, так як переносний рух поступальний

(рис. 2.8).
З рис. 2.8 маємо
a  a 1 ctg . (2.6)
2
Динамічні рівняння руху (2.5) набувають вигляду
ma   m g N cos ;
1
11
1
 ma ctg  N sin k  x
Рисунок 2.8  21 1  ст ,
або m 1 tg m 2 ctg a  mg tg k  ст   x ,
1
1
а з урахуванням рівняння статичної рівноваги (2.4) і співвідно-
шення (2.6) динамічне рівняння руху клина приймає вигляд

m 1 tg  m 2 a   kx , (2.7)
2
2
x
або з урахуванням, що прискорення a 
2
m 1 tg  m 2 x kx  0. (2.8)
2
Характеристичне рівняння лінійного однорідного диференці-
ального рівняння (2.8) має відповідно вигляд

m 1 tg  m 2   k  0. (2.9)
2
2
Знаходимо корені рівнянь (2.9) та підставляємо чисельних дані
k 4000
 1,2  i  2  i  2  29,28i – уявні числа.
m
1 tg  m 2 2 tg 30  4
Отже, загальний розв’язок рівняння руху (2.8) відносно поло-
ження статичної рівноваги має вигляд

x  C 1 sin 29,28t  C 2 cos 29,28t . (2.10)

Щоб визначити сталі інтегрування C і C , необхідно
2
1
розв’язати задачу Коші: x  0; v x 0  v ctg v ctg  60 3 см/с.
y
0
0
0
Для цього знайдемо закон зміни швидкості клина



v  29,28 C 1 cos 29,28t  C 2 sin 29,28t . (2.11)


x

49