Page 38 - 4617

Приклад 1. ВІЛЬНІ ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ

Із системи рівнянь (1.2) маємо
mg sin mg sin
 ст  ;  , (1.3)
 2 k  k 3  2 2k 2
1
або після підстановки чисельних значень розраховуємо статичні
деформації пружин 1 і 3:  ст  4,905 см та пружини 2:  17,5 см.

2

Рисунок 1.5 Рисунок 1.6

Для запису рівняння руху виберемо початок координат O у поло-
женні статичної рівноваги тіла (рис. 1.5). Вісь Ox спрямуємо вниз
вздовж похилої площини і спроектуємо рівняння (1.1) на цю вісь
mx  mg sin k  k 3  ст   x  k 2    x  , (1.4)
0
1
2
або з урахуванням рівнянь статичної рівноваги (1.2) динамічне рі-
вняння руху тіла відносно положення статичної рівноваги
mx  k  1 k  2 k 3 x  0; (1.5)

 закон руху тіла відносно положення статичної рівноваги

Для лінійного однорідного диференціального рівняння (1.5) ха-
рактеристичне рівняння має вигляд
m k  k  k  0, (1.6)
2
1 2 3
k  k  k 100 70 150 
корені якого   i 1 2 3  i    8i – уявні чис-
m 5
ла. Отже, загальний розв’язок рівняння руху (1.6) відносно поло-
ження статичної рівноваги має вигляд
x  C sin 8t cos 8t
  C
  . (1.7)
1 2
Щоб визначити сталі інтегрування C і C , необхідно
1 2
розв’язати задачу Коші: x  см, v   60 см/с (рис. 1.6). Для цього
4

0
0
знайдемо закон зміни швидкості тіла
 

  C
v  x  8 C 1 cos 8t 2 sin 8t . (1.8)



38