Page 84 - 4570

83

допомогою суперпозицій цих функцій. При цьому стверджують, що повна
система функцій утворює базис у логічному просторі.
Означення 2.35. Мінімальним базисом є такий базис, вилучення з якого
будь-якої функції порушує його повноту.
Теорема 2.7 (Поста-Яблонського). Для того щоб система функцій була
повною, необхідно і достатньо, щоб вона містила в собі хоча б одну функцію:
незберігаючу константу 0, незберігаючу константу 1, несамодвоїсту,
немонотонну й нелінійну.
З теореми випливає, що таких функцій має бути п’ять. Але, через те що
деякі функції мають одразу кілька потрібних властивостей, базис може
складатися з меншого числа функцій (табл. 2.5).

Таблиця 2.5 – Повна система функцій
Властивості Функції
функцій 0 1 – +  /    
Незберігаюча 0 * * * * *
Незберігаюча 1 * * * * * *
Несамодвоїста * * * * * * * * *
Немонотонна * * * * * *
Нелінійна * * * * * *

З таблиці видно, що повними системами функцій будуть: {¬, +, •}, { ¬, +},

{¬, •}, {/}, {}, {0,  } тощо. Так, наприклад, алгебра Буля побудована на
системі функцій {¬, +, •}, а алгебра Жегалкіна використовує базис {1, •, }.

ЛЕКЦІЯ 17. НЕЧІТКІ МНОЖИНИ

1. Основні визначення

Нечітка логіка є узагальненням класичної логіки на випадок, коли
істинність розглядається як лінгвістична змінна, що набуває значення типу:
«дуже істинно», «більш-менш істинно», «не дуже хибно» і т. д. Зазначені
лінгвістичні значення представляються нечіткими множинами. Основна
відмінність від класичної логіки полягає в тому, що замість значень «істина» і
«хибність» у нечіткій логіці використовується ступінь істинності, що набуває
значення з нескінченної множини від 0 (хибність) до 1 (істина) включно. Отже,
логічні операції вже не можуть бути подані таблицями істинності. У нечіткій
логіці вони задаються функціями і лише в крайніх випадках коли значення
змінних виключно 1 або 0 згадані вище функції можуть бути подані за
допомогою таблиці істинності операцій класичної логіки.
Основи нечіткої логіки були закладені в кінці 1960-х років у працях
відомого американського математика Лотфі А. Заде, що започаткував теорію
нечітких множин. Термін «нечітка логіка» використовується зазвичай у двох
різних значеннях. У вузькому сенсі нечітка логіка це логічне числення, що є