Page 66 - 4570

65

г) B є наслідком за правилом МР деяких формул B і B ( j  m  ) i , і B
i j m m
має вигляд B  B .
j i
Доведення випадків «а2» – «в» нічим не відрізняється від доведення цих
випадків для і =1.
У випадку «г», використовуючи принцип індукції, маємо Г ├ A  B і
j
Г ├ A  (B  B ) .
j i
За схемою аксіом А 2 маємо (A  (B  B ))  ((A  B )  (A  B )).
j i j i
Отже, за правилом МР отримаємо Г ├ (A  B )  (A  B ) і знову за
j j
правилом МР – Г  A  B , що й потрібно було довести.
i
Теорема 2.4. Довести, що A  , B B  C ├ A  C .
Доведення. За означенням теорії L:
1) A  B – гіпотеза;
2) B  C – гіпотеза;
3) А – гіпотеза;
4) використовуючи МР із 1 і 3, отримаємо В;
5) використовуючи МР із 2 і 4, отримаємо С.
Отже, A  , B B  C , A ├ С і за теоремою дедукції маємо

A  , B B  C ├ A  , C що й потрібно було довести.
Теорема 2.5. Довести, що A (B  C ),В├ A . C
Доведення. За означенням теорії L:
1) A (B  C ) – гіпотеза;

2) В – гіпотеза;
3) А – гіпотеза;
4) використовуючи МР із 1 і 3, отримаємо B  C ;
5) використовуючи МР із 2 і 4, отримаємо С.
,
Отже, A  (B  C ), B A├ С, і за теоремою дедукції маємо A (B  C ),
В ├ A  C , що й потрібно було довести.
Теорема 2.6. Для будь-яких формул А і В такі формули є теоремами
формальної теорії L:
а)  B  B ;

б) B   B ;
в) A  (A  B ) ;

г) ( B   ) A  (A  B ) ;
д) (A  B )  ( B   ) A ;
є) A  ( B   (A  B )) ;

ж)(A  B )  (( A  B )  B ).

3. Побудова доведень у логіці висловлювань

Логіка – це наука про способи доведення. У звичайній логіці всі доведення
будуються на відношенні еквівалентності, а в логіці висловлювань – на