Page 63 - 4570

62

Приклад 2.20. Дано висловлювання «Якщо n ділиться на 9, то n ділиться
на 3». Також відомо, що «n ділиться на 9». Який висновок можна зробити,
виходячи із цих двох висловлювань?
Розв’язання. Введемо атомарні висловлювання:
A – «n ділиться на 9»,
B – «n ділиться на 3».
Висловлювання «Якщо n ділиться на 9, то n ділиться на 3» можна
записати у вигляді формули A  B . З одночасного виконання засновків A  B
і A можна зробити висновок B за правилом відділення «n ділиться на 3».

ЛЕКЦІЯ 13. ВСТУП ДО ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЮВАНЬ

1. Формальна аксіоматична теорія L

При побудові алгебри висловлювань в основу покладено поняття
висловлювання як об’єкта, що набуває логічного значення «Істина» або
«Хибність» (закон виключеного третього). Ці поняття в багатьох випадках
суб’єктивні й не належать до математичних.
Формалізована аксіоматична теорія – числення висловлювань, вільна від
зазначеної вище вимоги і представляє одну з можливих аксіоматизацій алгебри
висловлювань.
Довільну формулу F числення висловлювань можна змістовно
інтерпретувати як складене висловлювання, істинність або хибність якого
залежить від істинності елементарних висловлювань, що до нього входять.
Таким чином, кожній формулі F числення висловлювань можна аналогічно
тому, як це було зроблено в алгебрі висловлювань, поставити у відповідність
функцію істинності f.
При побудові числення висловлювань можуть бути вибрані різні системи
аксіом і правила виведення, проте при будь-якому виборі множина формул
числення висловлювань збігається з множиною тотожно істинних формул
алгебри висловлювань.
Означення 2.21. Формальна аксіоматична теорія L є визначеною, якщо
виконані такі умови:
1. Задано деякий злічений алфавіт – символи теорії L. Скінченні
послідовності символів теорії L називають виразами теорії L.
2. Задано підмножину виразів теорії L, яку називають множиною формул
теорії L (часто існує процедура, за допомогою якої можна завжди визначити,
чи є даний вираз формулою).
3. Задано деяку множину формул, елементи якої називають аксіомами
теорії L (якщо є можливість перевірити, чи є дана формула аксіомою, то
теорію L називають ефективно аксіоматизованою, або аксіоматичною
теорією).
4. Задано скінченну множину R , R ,..., R відношень між формулами, які
1 2 n
називають правилами виведення.