Page 147 - 4511

p
Y   a 1 j X  A 1 X (8.3)
j
1
j 1
має найбільшу дисперсію. У формулах (8.2) – (8.3) величини
, X Y центровані відносно середніх.
Вагові коефіцієнти a - це нормовані компоненти влас-
kj
них векторів коваріаційної матриці B , для яких виконується
X
умова нормування
p 2
a
 kj 1. (8.4)
k 1

В основі практичного застосування методу головних ком-
понент лежить наступна теорема: “Ортогональне перетво-
рення Y  A T X випадкового вектору X залишає інваріантною
(незалежною) суму дисперсій”. Якщо рахувати, що інформація
про природу випадкової величини X пропорційна сумі диспер-
сій, для подальшого аналізу залишають таку кількість компо-
нент величини Y, сума дисперсій яких складає значну частину
загальної дисперсії. Це дозволяє краще зрозуміти природу ви-
падкової величини X і дає економічний її опис.
Геометрично знаходження головних компонент приво-
дить до утворення в p - вимірному просторі ортогональної си-
стеми координат, де перша координатна вісь спрямована по на-
прямку найбільшої дисперсії величини X, друга вісь – по на-
прямку найбільшої залишкової дисперсії (після виключення ди-
сперсії першої головної компоненти) і т.д.
В компонентному аналізу відсутні обмеження на вид роз-
поділу вихідних даних.

8.2 Факторний аналіз
Факторний аналіз є одним із методів аналізу структури
коваріаційної матриці системи випадкових величин. Суть фак-
торного аналізу полягає в тому, що - вимірний випадковий век-
тор вихідних даних допускає подання

X    UY  , (8.5)

146