Page 149 - 4511

де Y - r-й фактор; U - випадкові величини (похибки вимі-
r
j
рювань) із нульовими середніми і рівними дисперсіями; a -
jr
коефіцієнти (факторні навантаження j-ї змінної на k фак-
тор); X - центровані випадкові величини (вихідні дані). При-
j
пускається, що компоненти випадкових векторів Y і U незале-
жні у сукупності і розподілені нормально. При цьому стверджу-
ється, що коефіцієнт кореляції r між довільними випадко-
12
вими величинами X і X , обумовлений дією фактору Y , до-
2
1
r
рівнює

r  a r 1 a  r 2 ,
12
а дією k - факторів
k
R 12   1 r a r 2 .
a
r 1

Припустимо, що A - матриця розмірністю k p коефіціє-
нтів a . Тоді зв’язок між матрицею коефіцієнтів кореляції
jr
R   R em  між випадковими величинами X і
e
X m  m,e  1 ,...,  p , матрицею факторних навантажень A   
a
jr
і діагональною матрицею залишків U    буде мати вигляд
U
jj
(основна теорема факторного аналізу)

T
R  A A  U (8.7)
p , p k , p p , k p , p

Таким чином, задача факторного аналізу полягає у знахо-
дженні матриці факторних навантажень A за вихідною кореля-
ційною матрицею R шляхом лінійного перетворення p - вимі-
рного простору в k - вимірний простір меншої розмірності
k   p . Оскільки ця задача не має однозначного розв’язку, то
наступним кроком є ортогональне перетворення (обертання ор-
тогональної k - вимірної системи координат) з метою отри-

148