Page 186 - 4496

5.6. Головна теорема комбінаторики (Теорема про
включення і виключення)

Приклад. На підприємстві працюють 67 чоловік. З них
48 знають англійську, 35 - німецьку і 27 - обидві мови.
Скільки чоловік не знають ні англійської, ні німецької?
Результат можна одержати таким чином. Побудуємо
діаграму, на якій зображений прямокутник, відповідний
загальному числу працюючих (67) і дві пересічні області А і В
по 48 і 35 чоловік (знаючих англійську і німецьку мови). На
діаграмі загальна частина цих двох областей відповідає 27 -
кількості працюючих, які знають обидві мови. Вимагається
знайти область прямокутника, що не входить ні в область А,
ні в область В.

Очевидно, що N = 67 - 48 - 35 + 27 = 11.
Головна теорема комбінаторики (Теорема про
включення і виключення)
Хай є множина з N об'єктів довільної природи. На цій
множині нехай задано n властивостей. Кожний об'єкт може
володіти або не володіти деякими з цих властивостей. Самі
властивості позначимо: α1, α2, α3, ..., αк. Позначатимемо N(αі)
- кількість об'єктів точно володіючих властивістю αі і може
бути якимись іншими, а N(αі - αj ) - число об'єктів не
володіючих ні властивістю αі, ні властивістю αj. Тоді число

183