Page 185 - 4496

перестановок, який називається перестановками з
повтореннями.
Хай є n 1 предметів 1-го типу, n 2 предмети 2-го, n k
предметів k-го типу і при цьому n 1 + n 2 + ... + nk = n. Кількість
різних перестановок предметів
Р(n 1, n 2, n 3, ..., n k ) = (n!)/(n1!, n 2!, n 3!, ..., n k!) (5.5)
Для обгрунтовування (5.5) спочатку переставлятимемо n
предметів в припущенні, що вони всі різні. Число таких
перестановок рівне п! Потім помітимо, що в будь-якій
вибраній розстановці перестановка n1 однакових предметів не
міняє комбінації, аналогічно перестановка n2 однакових
предметів також не міняє комбінації і т.д. Тому одержуємо
вираз (5).
Приклад. Знайдемо кількість перестановок букв слова
КОМБІНАТОРИКА. В цьому слові 2 букви К, 2 букви О, 1
буква М, 1 буква Б, 1 букви І, 1 буква Н, 2 букви А, 1 буква Т,
1 буква Р, і 1 буква И.
Таким чином, число перестановок букв цього слова
рівне: Р(2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1) = 13!/(2! 2! 2!)= 131/8.

5.5 Основні правила комбінаторики
При обчисленні кількості різних комбінацій
використовуються правила складання і множення. Складання
використовується, коли множини не сумісні. Множення - коли
для кожної комбінації першої множини є всі комбінації (або
однакове число комбінацій) другої множини.
Приклад. З 28 кісток доміно беруться 2 кістки. В якому
числі комбінацій друга кістка буде прикладена до першої?
На першому кроці є два варіанти: вибрати дубль (7
комбінацій) або не дубль (21 комбінація). В першому випадку
є 6 варіантів продовження, в другому - 12.
Загальне число сприятливих комбінацій рівне: 7 ∙ 6 + 21 ∙
12 = 294.
А всього варіантів вибору 2 кісток з 28 рівно 378; тобто
при великому числі експериментів в 7 випадках з 9 (294/378 =
7/9) при виборі 2 кісток одна кістка виявиться прикладеною
до іншої.

182