Page 89 - 4202

  
      x yx xz
I  x yx  x zx  y zy ; .
2 I    
      3 xy y zy
xy y xz z yz z
  
xz yz z
Розкрийте ці визначники:
I     S ; 
1 x y z 


2
I 2  x  y  y  z  z  x  2 xy  2 yz  zx ;  (6.8)

I     2     2   2   2  .
3 x y z xy yz zx x yz y zx z xy 
Розв’завши кубічне рівняння (6.7), отримаємо три
значення його коренів, тобто три головні напруження, з
яких алгебраїчно найбільше позначають  1, найменше
 3, а проміжне  2.
Величини головних напружень у точці визначаються
лише формою і розмірами тіла та його навантаженням,
але ніяк не залежать від вибраного напрямку осей
координат. Отже, коефіцієнти І 1, І 2 та І 3 у цьому
рівнянні також не залежать від вибору осей координат.
Тому функції складових напружень І 1, І 2 та І 3
називаються інваріантами тензора напружень.
Якщо із рівняння (6.7) знайдені три головні
напруження
 1 ,  2 і  3 (а на головних площинках дотичні
напруження відсутні), то інваріанти тензора напружень
мають вигляд:
I     S ; 
1 1 2 3 

I 2  1  2  2  3  3  1 ;  (6.9)

I    .
3 1 2 3 
Оскільки число головних площинок дорівнює трьом,
потрібно знайти дев’ять напрямних косинусів. Щоб
знайти, наприклад, напрямні косинуси l 1 , т 1 , п 1 нормалі
до площинки, на якій діє головне напруження  1, треба
підставити значення  1 замість р v у будь-які два
рівняння (6.5). Розв’язавши ці два рівняння, знайдемо
значення двох напрямних косинусів, наприклад l 1 і т 1,
88