Page 85 - 4202

Таблиця 6.1 – Напрямні косинуси
Осі x y z
x 1 l 1=l m 1=m n 1=n
y 1 l 2 m 2 n 2
z 1 l 3 m 3 n 3
Повне напруження р N , яке діє на площинці BCD,
розкладемо на складові р Nx , p Ny і р Nz . Нормальне
напруження  N , перпендикулярне до площинки BCD,
можна розглядати як проекцію на вісь N (чи на вісь х 1)
повного напруження р N , що діє на площинці BCD, а
саме повне напруження р N  як рівнодійну трьох його
проекцій. Оскільки проекція рівнодійної дорівнює сумі
проекцій складових, то
  p  p  p l  p m  p n .
N N x1 N N Nx Ny Nz
Підставте сюди вирази (5.7), щоб у сумі отримати
. 2
2
. 2
.
.
.
 N= x l + y m + z n +2 xy lm+2 yz mn +2 zx nl . (6.1)
.
Тепер спроектуйте складові р Nx, p Ny і р Nz на вісь у 1
(рис. 6.1)
  p l  p m  p n .
Ny 1 Nx 2 Ny 2 Nz 2
Підставивте сюди вирази (5.7) та зведіть подібні
члени, щоб отримати
   l l  m m  n n 
Ny 1 x 1 2 y 1 2 z 1 2
(6.2)
  ml  m l   nm  n m   ln  l n .
xy 1 2 1 2 yz 1 2 1 2 zx 1 2 1 2
Аналогічно із суми проекцій на вісь z 1 знайдіть вираз
для третьої складової – дотичного напруження
   l l  m m  n n 
Nz
1 x 1 3 y 1 3 z 1 3
(6.3)
  ml  m l   nm  n m   ln  l n .
xy 1 3 1 3 yx 1 3 1 3 zx 1 3 1 1
За допомогою формул (6.1-6.3) можна
перетворювати складові тензора напружень при
переході від однієї системи координат х, у, z до нової
системи координат х 1 , у 1 , z 1 .
Для записів (6.1-6.3) та ряду інших формул теорії
пружності можна встановити послідовність чергування
індексів у складових напружень і чергування напрямних
84