Page 88 - 4202

За формулами (5.7) складемо вирази для проекцій
напруження р v на осі координат:

p   l   m   n 
vx x yx zx

p   l   m   n . (6.4)
vy xy y xy 

p   l   m   n
vz xz yz z 
Разом з тим, це є ті ж проекції напруження р v на осі
.
.
.
координат: p vx= p v l; p vy= p v m; p vz= p v n. Оскільки ліві
частини цих рівнянь рівні, то прирівняйте їх праві
частини та отримайте систему (6.5), у якій чотири
невідомих – головне напруження р v і три напрямні
косинуси:
  p  l  m  n  0 
x v yx zx

 xy l   y  p v m  zy n  0  , (6.5)

 l  m    p n  0
xz yz z v 
Четверте необхідне рівняння системи – це відоме
геометричне співвідношення: сума квадратів напрямних
косинусів дорівнює 1:
2
2
2
l + m + n = 1. (6.6)
Із цього співвідношення випливає, що напрямні
косинуси не можуть одночасно всі дорівнювати нулю.
Але система рівнянь з невідомими l, т і п повинна мати
розв’язок, відмінний від нуля, тому її визначник
повинен дорівнювати нулю

  p  
x v yx zx
det    p   0 , (6.7а)
xy y v zy
    p
xz yz z v
Розкрийте цей визначник та отримайте
p 3  I p 2  I p  I  0 , (6.7б)
v 1 v 2 v 3
де уведені позначення: I        S ;
1 x y z 
87