Page 36 - 2589

X
Якщо x , y  Y , тоді D  A  X ,  AD  Y . У таких випадках
0 З
кажуть, що A є відношенням від X до Y та позначають X  .
Y

Якщо X  то будь-яке відношення A: X  Y є підмножиною
Y
X  X і називається відношенням заданим на множині X .

Приклад 3.1: Для заданих множин X   ,3,2 Y   4,3  6 , 5 , :
- відношення A– «бути дільником» від X до Y .–

A          6,3,3,3,6,2,4,2
;
- відношення B- «рівності (=)» від X до Y - B    3,3 ;
- відношення С - «більше (>)» від X до Y : C   ;

- область визначення     XAD  2 3 ,  ;
0
- область значень   AD  ,3 6 , 4  Y .
З
Якщо  AD  X , то кажуть, що відношення A задане на X .
0
Очевидно, що відношення включення підмножини деякого

універсуму U :D (U )  D (U )  P (U ), де P (U )– множина всіх
o з
підмножин універсуму U .
Слід відмітити типові випадки відношень в X :

- Повне (універсальне) відношення P  X  X , яке
справджується для будь-якої пари x , x  елементів з X .
i j
Наприклад, P - відношення «вчитися в одній групі» у множині
X де X - множина студентів конкретної групи.
- Тотожне (діагональне) відношення E , що виконується

тільки між елементом і ним самим. Наприклад, рівність на
множині дійсних чисел.
- Порожнє відношення, яке не задовольняє жодна пара

елементів з X . Наприклад, A — відношення «бути братом» у
множині X де X — множина жінок.
Розглянемо відношення A  X  Y . Нехай елемент x  X .
i
Перерізом відношення A за елементом x називається множина
i
елементів y з Y, для яких пара  yx  A :
i,
A   yx   Y x , y  A .
i i
Множину всіх перерізів відношення А називають фактором-
множиною множини Y за відношенням А і позначають Y / A.
Вона повністю визначає відношення A.

Приклад 3.2: На множинах
X   , xx , x , xx ,Y   , yy , y , y 
1 2 3 4 5 1 2 3 4
задано відношення:

36