Page 100 - 203_

2 k 2 b  a
 f  dxx  y 2k  4y 2 k 1  y 2 k 2 ,
6n
2 x k
де y  f  , kx  , 2 , 1 , 0  2 , . n
k k
Додаючи почленно ці наближені рівності, одержимо наближену формуму
b
b  a
 f  dxx  y 0  y 2n  2   y 2  y 4   y 2 n 2  4 y 1  y 3   y 2n 1  .
a 6n
Ця формула називається формулою парабол або формулою Сімпсона.
Геометрично зміст формули Сімпсона очевидний: площа криволінійної трапеції під
графіком функції  xf на відрізку  ba, наближено замінюється сумою площ фігур, яка
лежать під параболами (прямими).
Можна показати, що якщо функція  xf має на  ba, неперервну похідну, то абсолютна
величина похибки формули Сімпсона не більша за
5
b   a
M ,
2880n 4
де M - найбільше значення f  IV   x на відрізку  ba, . Вище відзначалось, що похибка
формул прямокутників і трапецій оцінюється числом
  ab  3  
k  k max f   x
  
12 n 2   ba,   .
4
2
Оскільки n росте швидше, ніж n , то похибка формули Сімпсона з ростом n
зменшується значно швидше. Цим пояснюється, що формула Сімпсона дозволяє отримати
більшу точність в порівнянні з формулами прямокутників і трапецій.

1 dx
Приклад 2. Обчислити за формулою Сілпсона інтеграл  при n =4.
0 1  x
Розіб’ємо відрізок  1,0 на чотири рівних частини точками
x  , 0 x  1 , x  1 , x  3 , x  . 1 Обчислемо наближено значення функції  xf  1 в
0 1 4 2 2 3 4 4 1  x
цих точках:
y  , 1 000 , y  , 0 8000 , y  , 0 6667 , y  , 0 5714 , y  , 0 5000 .
0 1 2 3 4
За формулою Сімпсона одержимо
b b  a
 f  dxx  y 0  y 4  2 y 2   4 y 1  y 3 
a 6n
1 0
 000,1  , 0 5000 2 , 0  6667  4  8000,0  , 0 5714  0 , 69325 .
12
1
Оцінимо похибку одержаного результата. Для підінтегральної функції  xf  маємо
1  x
24
f  IV  x  .
1 x  6
Звідси випливає, що на відрізку  1,0 f  IV   x 24. Отже, можна взяти M =24, і похибка

24
результата не перевищує величини  . 0 0004 . Порівнюючи наближене значення з
2880 4  4
тосним, робимо висновок, що абсолютна похибка результата, отриманого за формулою
Сімпсона, менша за 0,00011. Це відповідає даній вище оцінці похибки і, крім таго, свідчить,
що формула Сімпсона значно точніша і порівнянні з формулами прямокутників і трапецій.