Page 164 - 6376

1

= lim . (37)
→0

З визначення (37) слідує, що дивергенція є скалярною функцією координат.

Щоб отримати вираз для дивергенції поля , потрібно взяти нескінченно малий

об’єм , визначити потік вектора через замкнену поверхню, що охоплює цей об’єм, і
знайти відношення цього потоку до об’єму. Отриманий вираз для дивергенції буде залежати

від вибору системи координат (у різних системах координат він є різний). Наприклад, в

декартовій системі координат

= + + . (38)

Запис багатьох формул і дії над ними значно спрощуються, якщо ввести векторний

диференціальний оператор ∇ (оператор Гамільтона). Оператор ∇ в декартових координатах
має вигляд

+ + , (39)

∇= i

де i , , – орти осей , , . Сам по собі вектор ∇ змісту не має. Він набуває зміст тільки у
зв’язку з скалярною або векторною функцією, на яку символічно множиться. Так, наприклад,

якщо вектор ∇ помножити скалярно на вектор , то отримаємо

+ + , (40)
∇ ∙ = ∇ + ∇ + ∇ =

а це є не що інше, як .

Таким чином, дивергенція поля може бути записана як або ∇ ∙ (в обох

випадках читається як «дивергенція »). Будемо користуватися другим, більш зручним
позначенням. Тоді, наприклад, теорема Гауса буде мати вигляд

(41)
∇ ∙ = 0