Page 26 - 6091

2 МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ КОМП’ЮТЕРНОЇ ГРАФІКИ

Незважаючи на різноманітність задач математичного та алгоритмічного характеру в
комп'ютерній графіці, всі вони зводяться до проблеми аналітичного опису та комп'ютерного
представлення кривих та ламаних ліній, граничних та кривих поверхонь у двовимірному,
тривимірному та багатовимірному просторах. За допомогою відповідних методів можна
вирішити завдання синтезу таких ліній і поверхонь. Велика частина об'єктів в техніці
обмежена кривими поверхнями. Для розрахунку, обробки та їх виконання їх розбивають на
невеликі чотирикутні (рідше трикутні) відсіки, що називаються кінцевими елементами.
Параметричне представлення таких відсіків дозволяє не прив'язувати їх до координат
системи. Однак реалізація параметричного методу може бути отримана тільки за допомогою
комп'ютера. Специфіка геометричних задач, які вирішуються в комп'ютерній графіці,
стимулювали інтенсивні математичні дослідження в цій галузі, наприклад, теорію сплайнів
та її розвиток. Найбільша загальна теорія розбивки проектованої поверхні на відсіки була
запропонована С. А. Кунсом. Широко застосовується в машинній геометрії метод Без’є, в
основі якого лежить многочленна апроксимація Бернштейна.
Найбільш ефективною мовою комп'ютерної геометрії та графіки є векторна алгебра, за
допомогою якої вирішуються завдання на перетворення систем координат, афінні
перетворення площини та простору.
Як представлено на рис.1.1, обробка графічної інформації зводиться до наступних
задач:
- розпізнавання образа
зображення → опис об’єкта;
- обробка зображення з використанням перетворень
зображення → зображення;
- побудова зображення з використанням перетворень
опис об’єкта → зображення.
Саме третя задача вирішується при геометричному моделюванні. Вона містить задачу
опису об’єкта у виді математичної моделі та задачу візуалізації цього об’єкта у відповідності
до цієї моделі.
Сцена - обмежена область простору з системою об’єктів, зображення яких має бути
відтворене засобами комп’ютерної графіки. Для створення сцени необхідні математичні
моделі об’єктів та візуальна інформація.
Візуальна інформація – це сукупність інформації про зовнішній вигляд, що
визначається властивостями поверхні об’єкта (кольором, текстурою, прозорістю і т.п.) та
освітленням, що визначається природою, кількістю та розміщенням джерел світла, умовами
видимості (дим, туман).
Математична модель – це сукупність математичних співвідношень, за допомогою
яких описуються основні характеристики реального об’єкта.
При побудові об’єктів і сцен різної природи у комп’ютерній графіці найчастіше
використовують геометричну версію математичного моделювання, тобто кожний елемент
сцени розглядається як геометричний об'єкт із певними властивостями, а сцена складається з
множини геометричних об'єктів.
За способом представлення геометричних об'єктів можна виділити дві, які
найчастіше використовуються, моделі елементів графічних сцен: графічні примітиви та
математичні моделі просторових об'єктів, які задаються рівняннями ліній і поверхонь.
Розрізняють два рівні графічних примітивів - двовимірні та тривимірні - які
вибираються з бібліотек примітивів.
В сучасних системах комп’ютерної графіки інформація про графічні об’єкти
поділяється на дві категорії: параметри та атрибути.

25