Page 8 - 4861

Ймовірність P знаходження консервативної системи у момент часу t у стані j визначається
j
таким диференціальним рівняннями:
N
 P   Pq   P q j ,  ,0 N . (2.2)
j j j k kj
k 0
k  j
з такою початковою умовою:
P j  0  P j  0 , (2.3)
яка характеризує стан системи в момент часу t=0
Для більшості систем МО повинні виконуватись умови нормування:
N
 P j   t 1 (2.4)
 j 0
при всіх t≥0.

2.1 Обчислення інтенсивності марківських переходів

 i
Припустимо, що за умови X  в момент часу t проходять операції O ,O , …, O .
t 1 i 2 i i ir
При цьому величина роботи, яка пов’язана з виконаннями і-ої з таких операцій випадкова
величина  k , що розподілена за експоненціальним законом з параметром
i
 , 1 k  r . Крім того, припустимо, що  k – незалежні випадкові величини. Позначимо через
ik i
i
i
 темпи виконання операції O за умови, що X  . Якщо в даному стані X  деяка
ik ik t t
операція не виконується, але може виконуватись, то можна залучити її до операцій, що
«продовжуються», вважаючи, що відповідні   0 .
ik
Якщо величина роботи, пов’язана з виконанням операції, виражається в одиницях часу, то
допускають   1, якщо k - та операція виконується і   0 - в протилежному випадку. Нехай
ik ik
система знаходиться в стані і. Позначимо через  kt ймовірність переходу системи в стан j за
ij
умови, що закінчилася операція O .
ik
Тоді інтенсивності переходів марківського процесу обчислюються за такою формулою:
i r
q ij    ik  f ij   k . (2.5)
ik
k 1

3 МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМИ МО З ВІДНОВЛЕННЯМ

Система складається із N приладів, час безвідмовної роботи, кожного із них
експоненціально-розподілена випадкова величина з параметром .
Позначимо через X число елементів, що знаходяться в момент часу t в неробочому стані,
t

тоді X  0,1,...,i . Є r  i операторів, кожен із яких може одночасно відновлювати лише один
t
прилад. Якщо число приладів, що відмовили більше r, то r елементів відновлюються, інші
утворюють чергу на відновлення. В стані і маємо і 0=mini,r операцій відновлення О і1,..., О іі0.
Допускаємо, що операції відновлення мають експоненціальний закон розподілення з параметром
1
 і     ...     . Очевидно, що     ...    .
1 i 2 i 0 i i 1 i 2 i 0 i i
Закінчення однієї із операцій відновлення приводить до зменшення несправних приладів на
одиницю. Це означає, що система переходить в новий стан і  і-1. Отже f i,i-1(1)= f i,i-1(2)=...= f i,i-
1(i 0)=1 ( f i , i  1  k - ймовірності закінчень однієї із k-тих операцій відновлення О ik, k  1 i, ) і f ij(1) =
0
f ij(2) =... = f ij(i o) = 0,  ij  1.
Кількість операцій N  , які зв’язані з експлуатацією працездатних приладів, позначимо
i

7