Page 6 - 4824

В практичних задачах оптимізації, як правило мають
місце обмеження. Для розв’язку задач умовної оптимізації із
цільовою функцією
R (u )  R (u ,u ,...,u )
1 2 n
(1.1)
і обмеженнями типу “рівність”
h (u )  h (u ,u ,...,u )  0 , k  , 1 m , m>n, (1.2)
k k 1 2 n
можна застосовувати метод множників Лагранжа.
Для розв’язку подібних задач оптимізації вводяться
невизначені множники Лагранжа, які забезпечують рівність
нулю виразів:
R (u ) h (u ) h (u ) h (u )
  1   2  ...  m  0 ,(1.3)
u 1 u 2 u m u
i i i i
де – невизначені множники Лагранжа.
Із системи рівнянь (1.3) можна знайти значення
незалежних змінних U i як функцію від невизначених
множників Лагранжа:
u   ( , ,..., i ),  n , 1 . (1.4)
i 1 2 m
Використовуючи рівняння обмеження (1.2), можна
знайти невизначені множники Лагранжа і підставити їх у
вираз (1.4). Таким чином знайти значення U i, тобто
координати точок, що підозрілі на екстремум функції R(u ).
Систему рівнянь (1.3) можна отримати і через функцію
Лагранжа, шляхом розширення цільової функції (1.1).
m
L (u , )  R (u )    k h k (u ) . (1.5)

k 1 
Приклад: Знайти параметри циліндричного апарата
заданого об’єму V, який би мав мінімальну площу поверхні S.
Критерієм оптимальності в заданому випадку є мінімальна
поверхня циліндричного апарата (S), яку можна визначити за
формулою
2
S=2π(r +rh),
де r – радіус циліндра;
h – його висота.