Page 19 - 4799

Швидкість накопичення дочірнього елемента dN 2/dt, очевидно, буде
визначатися різницею швидкостей розпаду вихідного і дочірнього елементів:

dN    N    N , (2.7)
2 / dt 1 1 2 2

де λ 1, і λ 2 - сталі розпаду вихідного і дочірнього елементів відповідно.
Підставивши у вираз (2.7) значення N  N e    t  , отримаємо лінійне
1 01
неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку:

dN    N    N e    2 (2.8)
t 
2 / dt 2 2 1 01

Загальне рішення рівняння (2.8) має такий вигляд:

N  N e    2 t   N C  e   1 t   C e    2 t   , (2.9)
2 02 01 1 2

але оскільки в початковий момент N 02=0, то:


N  N C  e  1 t   C e    2 t  , (2.10)
2 01 1 2

Застосувавши диференціювання для рівняння (2.10) за змінною t і
підставивши у формулу (2.8) значення dN 2/dt і N 2, знаходимо значення

постійної інтегрування С  1 . Тоді:
1    
2 1

      t   t  , (2.11)
N  N  1   e 1  C  e 2
2 01     2   1   2 


0
З виразу (2.11), користуючись початковою умовою N 02=0 при t =0,
 
знаходимо, що C  1 .
2    
2 1
Остаточно зміна кількості атомів радіоактивного продукту розпаду
вихідного елемента із часом визначається виразом:

N 01   1   t    t  , (2.12)
N  e 1  e 2 
2
  
2 1

Практичний інтерес мають деякі часткові випадки визначення кількості
атомів (активності) материнської й дочірньої радіоактивної речовини при
різних співвідношеннях сталих їхнього розпаду.
1. Материнська радіоактивна речовина має дуже великий період
піврозпаду Т порівняно з дочірньою і зміною кількості її атомів із часом
можна знехтувати (λ 1<<λ 2). Дочірня речовина в початковий момент часу
відсутня. Підставимо ці дані в рівняння (2.13):

19