Page 70 - 4757

Система є стійкою, якщо вільна складова y ( )t перехідного
c
процесу з часом йде до нуля, тобто якщо
lim y c ( )t  . (6.1)
0
t
Очевидно, що вихідна змінна системи буде наближатись до
вимушеної складової, яка визначається правою частиною
диференціального рівняння, а при виконанні умови (6.1) стійкість
називається асимптотичною. Тоді для нестійкої системи:
lim y ( )t   . (6.2)
t c
Нарешті, якщо вільна складова не прагне ні до нуля, ні до
нескінченності, то система перебуває на межі стійкості.

6.2 Вплив коренів характеристичного рівняння
Загальна умова, при якій система, описувана рівнянням
(2.3) стійка є рішення даного рівняння, яке дорівнює:
n n
i p t
y ( )t   C y ( )t   C e . (6.3)
c i i i
i 1 i 1
де: С і - постійні інтегрування, які залежать від початкових умов;
p і - корені характеристичного рівняння:
n
a p  a p n 1  ... a  0. (6.4)
o 1 n
Корені характеристичного рівняння можуть бути дійсними
( p   ), уявними ( p  j ) і комплексними ( p    j ). При
i i i i i i i
цьому комплексні корені завжди попарно сполучені між собою:
якщо є корінь з позитивною уявною частиною, то обов'язково
існує корінь з такою же за модулем, але негативною уявною
частиною.

68