Page 19 - 4610

3.5 Загальні відомості

Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних
рівнянь
Розглянемо чисельні методи розв’язування систем
лінійних алгебричних рівнянь
AX  F , (3.1)
T
де A - матриця m*m, X  x ( 1 , x 2 , ..., x m ) - шуканий
T
вектор, F  1 , f ( f 2 , ..., f m ) - заданий вектор.
Припускаємо, що F  , 0 та визначник матриці А
відмінний від нуля, так що існує єдиний розв’язок Х. З курсу
алгебри відомо, що систему (3.1) можна розв’язати за
формулами Крамера. Для великих m цей спосіб практично
нереалізований тому, що потребує порядку m! aрифметичних
дій. Тому широко використовують інші методи розв’язування,
наприклад, метод Гаусса, який потребує (V m 3 ) дій.

Методи чисельного розв’язування системи (3.1)
поділяються на дві групи:
- прямі методи;
- ітераційні методи.
У прямих (або точних) методах розв’язок Х системи
(3.1) відшукується за скінченну кількість арифметичних дій.
Внаслідок похибок заокруглення прямі методи насправді не
приводять до точного розв’язку системи (3.1) і назвати їх
точними можливо лише залишаючи осторонь похибки
заокруглення.
Ітераційні методи (їх також називають методами
послідовних наближень) полягають у тому, що розв’язок x
системи (1) відшукується як границя при n  послідовних
( n )
наближень X де n - номер ітерації. Як правило, за
скінченну кількість ітерацій ця границя не досягається.

20