Page 77 - 4570

76

значень, у логіці предикатів використовують так звані операції зв’язування
квантором (операції квантифікації). Квантори вперше були введені саме в
рамках класичної математичної логіки.
Означення 2.28. Квантором загальності називають знак  , під впливом
якого предикат Р(х), визначений на множині М, набуває істинного значення для
всіх х  М, і позначають це як  х Р(х).
Означення 2.29. Квантором існування називають знак , під впливом
якого предикат Р(х), визначений на множині М, набуває істинного значення для
деяких х  М, і позначають це як х Р(х).
Знак квантора загальності  є перевернутою буквою «А», що є першою
літерою англійського слова «All», що означає «всі», а знак квантора існування 
є перевернутою літерою «Е», що є першою буквою англійського слова «Exist» і
означає «існування». Квантор  у природній мові читається як «всі», «кожен»,
«всякий», «який би не був». Квантор  у природній мові читається як «існує
(хоча б один)», «існують», «знайдеться (хоча б один)», «знайдуться», «деякі».
Якщо квантор застосовується до предиката, то кажуть, що він
навішується на формулу.
Наприклад,  х 1 Р(х 1, x 2, …, x n) – на n-місний предикат навішений квантор
загальності, при цьому він зв’язує змінну х 1, а на інші змінні його дія не
поширюється. Змінна х 1 в цьому випадку називається пов’язаною, всі інші
змінні є вільними. Внаслідок операції квантифікації місність предиката
зміниться (в цьому випадку предикат стає n-1-місним).
Важливу роль у логіці предикатів відіграє поняття області дії квантора.
Область дії квантора – це предикат, на який даний квантор навішується. Як
правило, вона виділяється дужками. Наприклад, у предиката x y (x < y  z >
0) ↔ (x = z) змінна z вільна, змінна x частково вільна, оскільки має два
зв’язаних і одне вільне входження, а змінна y пов’язана.
Якщо предикат P(x) не містить інших змінних, окрім х, вирази x P(x) та
x P(x) є реченнями, що виражають істинні або хибні висловлювання.
Приклад 2.28. Висловлювання: «Всі студенти складають іспити» і
«Деякі студенти складають іспити на відмінно» подати засобом логіки
предикатів.
Розв’язання. Введемо предикати: Р(x) «x – складає іспити», Q(x) «x –
складає іспити на відмінно», x  M, де М – множина студентів. Тоді шукані
подання матимуть вигляд  х Р(х) і х Q(х).
Приклад 2.29. Для предметної області множини дійсних чисел записати
засобами логіки предикатів такі твердження: «Існує число, квадрат якого
2
2
дорівнює 25»; «Для всіх х є правильним, що (х + 2) = х + 4х + 4».
Розв’язання. Введемо предикат P(х, у) – «x = y», який є істинним тоді,
коли значення змінної х дорівнює значенню у. У даному випадку,

використовуючи квантори, можна записати:
2
2
2
х P(х , 25);  х P((х + 2) , х + 4х + 4).