Page 75 - 4570

74

в яку замість параметра x об’єктів (значень) з деякої множини М перетворює
висловлювальну форму у висловлювання.
Нехай М – непорожня підмножина декартового добутку M 1  M 2  . . . 
M n множин (n  1).
Означення 2.26. n-місним предикатом, заданим на множині М,
називається речення, що містить n змінних x 1, x 2, …, x n і стає висловленням при
кожній заміні їх елементами з відповідних множин a 1, a 2, …, a n.
n-місний предикат будемо позначати Р(х 1, х 2, ..., x n), змінні x 1, x 2, …, x n
будемо називати предметними змінними, а елементи множин, які ці змінні
приймають (a 1, a 2, …, a n)  М, – предметними константами. Наприклад, над
множиною натуральних чисел речення «х – просте число» є одномісним
предикатом, а речення «х кохає y» є двомісний предикат на множині людей.
Таким чином, будь-який n-місний предикат можна ототожнити з логічною
функцією n аргументів, що набуває значення із множини {T, F}, тобто:
Р(х , х , ..., x ) | M 1  M 2  …  M n → {T, F}.
1 2 n
Це пояснюється тим, що у математичній логіці нас менше цікавить
змістова суть предиката, а більш важливо знати, яке значення істинності
ставиться у відповідність за допомогою даного предиката тій чи іншій
послідовності елементів.
Таким чином, предикат Р(х , х , ..., x ) буде визначений, якщо:
1 2 n
1) задана деяка множина М, яку називають областю визначення
предиката (предметна область);
2) задана область значень (фіксована множина {T, F});
3) зазначене правило, за допомогою якого кожному елементу, що взятий у
предикатній області, ставиться у відповідність один із двох елементів із області
значень.
Предикат, що не має предметних змінних (n = 0) є висловлюванням або
нульмісним предикатом; якщо п = 1, то предикат відповідає властивості; якщо
п = 2, то предикат є бінарним відношенням; якщо п = 3, то предикат – тернарне
відношення і т. д.
Приклад 2.25. Подати предикатами речення: «х – ціле число»; «х ділиться
на у».
Розв’язання. Дії або властивості цих речень оберемо як назву предикатів:
ЦІЛЕ, ДІЛИТЬСЯ. Тоді задані висловлювання можна записати у вигляді
предикатів таким чином: ЦІЛЕ(х), ДІЛИТЬСЯ(х, у). Перший предикат є
одномісним і виражає деяку властивість чисел, а другий двомісним і виражає
бінарне відношення подільності на множині чисел.
Над предикатами можна виконувати звичайні логічні операції.
Результатом цих операцій будуть нові предикати. Наприклад, нехай Р(х)
позначає предикат «х ділиться на 2», а Q(x) предикат «х ділиться на 3». Тоді
вираз Р(х)  Q (x) позначає предикат «х ділиться на 2 та х ділиться на 3»,
тобто позначає предикат «х ділиться на 6».