Page 45 - 4570

44

шо інше як обчислення найменшого спільного кратного знаменників цих
дробів.

2. Основна теорема арифметики

Узагалі кажучи, розкласти число в добуток простих можна багатьма
способами, наприклад, 30 = 235 = 3(-2)(-5) = 5(-3)(-2). Однак наведені
розклади числа 30 розрізняються лише порядком і знаками множників.
Твердження, що так буде для кожного числа, заслужено називають основною
теоремою арифметики.
Теорема 1.17 (основна теорема арифметики). Кожне натуральне число
розкладається в добуток простих чисел, причому такий розклад є однозначним,
з точністю до порядку і знаків множників.
Доведення. Існування розкладу вже боло доведене раніше, тому
обгрунтування вимагає лише однозначність розкладу. Скористаємось індукцією
за довжиною k найкоротшого розкладу числа (тобто розкладу, який містить
найменшу кількість простих множників). Якщо k = 0 (число 1) або k = 1 (прості
числа), то однозначність розкладу очевидна.
Нехай для всіх чисел, для яких існує розклад на менше ніж k простих
множників, однозначність розкладу вже доведена, і нехай
n = p 1 p 2   p k = q 1 q 2   q m (m  k) (1.4)
два розклади числа n на прості множники. Якщо (p 1, q 1) = 1, (p 1, q 2) = 1, ..., (p 1,
q m) = 1, то з твердження випливає, що (p 1, q 1 q 2   q m) = 1. Але це суперечить
рівності 1.4. Тому існує таке i, що (p 1, q i)  1. Оскільки p 1 і q i – прості числа, то
вони відрізняються щонайбільше знаком. Змінивши, у разі потреби, в добутку
q 1 q 2   q m порядок множників і знаки двох множників, можемо вважати, що і =
1 та р 1 = q 1. Тоді рівність (1.4) набуває вигляду p 1 p 2   p k = p 1 q 2   q m. Після
скорочення на р 1 отримаємо p 2   p k = q 2   q m. Але добуток у лівій частині цієї
рівності містить уже менше, ніж k множників. Тому за припущенням індукції
кількість множників в обох частинах рівності однакова (тобто k - l = m - 1 і k =
m), а добутки p 2   p k і q 2   q m розрізняються щонайбільше порядком і знаками
множників. Якщо згадати, що р 1 = q 1, то однозначність розкладу числа n
доведена.
Зауваження:
а) Оскільки від’ємне число n можна записати у вигляді n = -|n|, то з
теореми одразу випливає існування та однозначність розкладу в добуток
простих множників і дня від’ємних цілих чисел.
b) Тепер стає зрозумілим, чому число 1 не вважають простим: якби 1
відносили до простих чисел, то зникла б однозначність розкладу в добуток
простих, бо до кожного розкладу можна було б приєднати довільну кількість
множників 1.
с) Існування та однозначність розкладу натурального числа в добуток
простих підтверджується такою величезною кількістю прикладів, що дуже
довго основна теорема арифметики вважалась очевидним фактом, і математики
навіть не відчували потреби в її явному формулюванні. Ситуація змінилась на
межі XVIII - XIX ст., коли з’явились перші приклади математичних структур,