Page 44 - 4570

43

Очевидно, що разом із d найбільшим спільним дільником чисел а і b буде і
число -d. Навпаки, якщо d 1 і d 2 – найбільші спільні дільники чисел а і b, то має
бути d 1 | d 2 і d 2 | d 1 тобто d 1 і d 2 – асоційовані і відрізняються щонайбільше
знаком. Щоб досягти однозначності, можна домовитись розглядати лише
додатне значення найбільшого спільного дільника.
Із доведення останньої теореми одразу випливає наслідок.
Наслідок. Якщо d =НСД(а, b), то можна підібрати, такі цілі числа m і m,
що d = mа + nb.
Цілком аналогічно випадку двох чисел доводиться, що найбільший
спільний дільник довільного набору чисел а 1, а 2, ...., a n існує і визначений з
точністю до знаку. Він позначається НСД(а 1, а 2, ..., а n) або просто (а 1, а 2, ..., а n).
І в загальному випадку для однозначності братимемо лише додатне значення
найбільшого спільного дільника.
Приклад 1.58. Знайти, довжину найкоротшої арифметичної прогресії,
членами якої будуть числа 15, 69, 105 і 189.
Розв’язання. У найкоротшій прогресії числа 15 і 189 повинні бути
крайніми членами. Можна вважати, що 15 – перший член, а 189 – останній.
Різниця а n - a m двох довільних членів арифметичної прогресії завжди ділиться
на різницю d цієї прогресії. Тому d ділить кожне з чисел 69 - 15 = 54, 105 - 69 =
36, 189 - 105 = 84. Щоб прогресія була найкоротшою, її різниця має бути
найбільшою. Отже, d = НСД(54, 36, 84) = 6. Тепер із рівності 189 = 15 + 6 (k - 1)
знаходимо k = 30. тобто найкоротша прогресія містить 30 членів.
Означення 1.41. Числа а і b називаються взаємно простими, якщо НСД(а,
b) = 1. Наприклад, взаємно простими будуть числа 15 і 28, 100 і 243, 1001 і
1110.
Питання про взаємну простоту двох чисел виникає, наприклад, при записі
раціональних чисел у вигляді дробів: якщо а і b не взаємно прості, то ми
можемо скоротити чисельник і знаменник дробу а / b на їх спільний дільник і
тим самим перейти до дробу, який у певному сенсі є простішим від
початкового.
Означення 1.42. Число m називається найменшим спільним кратним,
чисел а і b, якщо воно задовольняє дві умови:
a) а | m і b | m;
b) якщо а | n і b | n, то m | n.
Найменше спільне кратне чисел а і b позначають НСК(а, b) або [а, b]. Як і
для двоїстого поняття найбільшого спільного дільника, слово «найменше» у
словосполученні «найменше спільне кратне» розуміється в сенсі подільності, а
не величини: це кратне мусить бути дільником будь-якого іншого кратного
чисел а і b.
Поняття найменшого спільного кратного легко узагальнюється на довільну
скінченну кількість чисел та називається найменшим спільним кратним чисел
а 1, а 2, …, а k.
Зауважимо, що задача знаходження найменшого спільного знаменника
кількох дробів, яка постійно виникає при додаванні чи відніманні дробів, є не