Page 40 - 4570

39

У співвідношеннях (1.3) число q називають неповною часткою, а число r
– остачею від ділення а на b.
Приклад 1.54. Обчислити частку q та остачу r від ділення числа 187 на
число 13.
187 5 5 8
Розв’язання. Оскільки  14 , то  187 14  ( 13) 15   .
13 13 13 13
( 13) 15 ( 13) 8     . Отже, q= 15 і r = 8.

3. Подільність чисел

Якщо остача від ділення а на b дорівнює 0. то кажуть, що а ділиться на b
(або що b ділить а), і позначають цей факт символом b | а. Замість позначення
b | а інколи вживають символ a : b. Число а ще називають кратним числа b. а b
дільником, числа а, бо умова b | а рівносильна існуванню такого q. що а = bq.
Останнє зауваження дає змогу переформулювати означення подільності чисел
лише в термінах дії множення. Такий підхід є кращим, оскільки він дозволяє
визначити поняття подільності елементів у довільних кільцях (і навіть просто
множинах із множенням), для яких теорема про ділення з остачею може й не
виконуватись.
Безпосередньо із означення подільності чисел випливає наступна теорема.
Теорема 1.13 (про найпростіші властивості відношення подільності):
a) а | а – рефлексивність відношення подільності;
b) якщо а | b і b | с, то а | с – транзитивність відношення подільності;
c) якщо a | b, то а | bс;
d) якщо а | b і а | с, то а | (b ± с);
e) 0 ділиться, на кожне число, і немає інших чисел, з та,кою властивістю;
f) кожне число ділиться, на ±1, і немає інших чисел, з такою властивістю;
g) якщо а | b і c | d, то ac | bd.
2
Приклад 1.55. Знайти всі натуральні числа n, для яких (n + 2) | (n + 2)
2
2
Розв’язання. Із рівності n + 2 = (n + 2)(n - 2) + 6 випливає, що n + 2 | n + 4
тоді і лише тоді, коли n + 2 | 6. Оскільки n – натуральне, то n + 2 = 3 або n + 2 =
6. Отже, n = 1 або n = 4.
Якщо a | b і b | a, то числа а і b називають асоційованими. Ненульові
асоційовані числа можуть відрізнятись щонайбільше знаком. Справді, із а | b
випливає існування такого числа q 1, що aq 1 = b, а із b | а – такого числа q 2. що
bq 2 = а. Звідси отримуємо рівність (aq 1)q 2 = а. або q 1q 2 = 1. Оскільки серед цілих
чисел оборотними є лише ±1, то q 1 = ±1 і b = ±а.
З іншого боку, протилежні числа є асоційовані. Тому ненульові цілі числа
розбиваються на пари асоційованих. Зокрема, кожна така пара містить рівно
одне натуральне число.

4. Прості і складені числа
До дільників числа а завжди належать числа ±1 і ±а. Такі дільники числа а
називаються невласними, а всі інші власними. Зауважимо, що дільник b числа