Page 33 - 4396

На рис. 7.1 показано перетин випадкового процесу Х(t) у момент , що дає

змогу визначити сукупність миттєвих значень процесу ( ), ( ), … ( ),

яку можна розглядати як сукупність значень деякої випадкової величини X( ).

Ця сукупність дає можливість визначити одновимірну функцію розподілу
ймовірностей випадкової величини X( ). Для цього виділимо ті значення, які в

момент часу задовольняють умову:

X( )< , (7.1)

де - деяке вибране значення випадкового процесу.

Позначимо кількість цих значень як n( , ).Відношення

n( , )/Nназивають у теорії ймовірностей частотою настання події. У такому

разі під подією розуміємо виконання умови (7.1). За достатньо великого
значення N відношення n( , )/Nпрямуватиме до постійного числа, яке

називають ймовірністю того, що при t= випадкова функція Х(t) менша від

значення x:

lim → [ n( , )/N]=P{ X( )< }.(7.2)

Аналогічно для інших значень х в інтервалі -∞ < х < +∞, можемо
побудуватиодновимірну функцію розподілу ймовірностей випадкового
процесу:
( , )=P{ X( )< }. (7.3)

Функція ( , ) матиме ступінчатий характер тоді, коли випадковий

процес набуває дискретних значень. Якщо ж випадковий процес змінює свої
значення неперервно, то функція F(x, ) теж матиме вигляд плавної кривої.

Зауважимо, що функція розподілу ймовірностей є неспадною функцією свого
аргументу, що випливає з її означення.
Тісно пов’язаною з одновимірною функцією розподілу ймовірностей
випадкового процесу єодновимірна густина розподілу ймовірностей
випадкового процесу, яку на підставі ансамблю реалізацій наближено
визначають так:

( ∆ , ) ( , )

( , ) ≈ , (7.4)

∙∆х

де п(х+∆х, ) – кількість реалізацій, значення яких у момент були менші від

х+∆х, а n(x, ) визначаємо, як і раніше.

За такого визначення густина розподілу теж має сту32інчатий вигляд.
Підвищення точності визначення густини розподілу досягають зменшенням
інтервалу∆х до нуля:
( + ∆x, t ) − ( , t )

( , ) = lim . (7.5)

→ ∙ ∆х
32