Page 103 - 4202

дві інші площини координат знайдіть вирази для
відносної лінійної деформації  z та відносних зсувів  yz і
. У результаті отримайте наступні шість
 zx
диференціальних залежностей між відносними
деформаціями і переміщеннями:
ди дv ди 
  ;   
х xy 
дх дх ду

дv дw дv 
  ;    . (7.6)
y yz 
дy дy дz 
дw ди дw 
  ;    
z zx
дz дz дх 
Залежності (7.6) називають співвідношеннями
Коші.
Виходячи з геометричного змісту часткових
похідних, які стоять у правих частинах, можна
встановити правила знаків: додатне значення відносних
лінійних деформацій відповідає видовженню, додатне
значення відносних зсувів відповідає зменшенню
прямих кутів хОу, уОz і zОx.
Підставте складові лінійних деформацій (7.6) у
формулу об’ємної деформації або дилатації θ V (7.1),
щоб отримати
дu дv дw 
     div U , (7.7)
V
дх ду дz
де divU – дивергенція (розходження) поля переміщень
U точок всередині пружно-деформованого тіла.
Це слідує з того, що и, v і w – це проекції повного
переміщення U точки у пружному тілі внаслідок його
деформування (див. рис. 7.1), а вектор U виражається
через його проекції так:
   
U  u  i  v  j  w k  , (7.8)
  
де i , j, k – орти (одиничні вектори, направлені вздовж
осей х, у і z). Тому математично вираз (7.7) є
дивергенцією вектора U.
Поле переміщень точок всередині пружного тіла

102