Page 107 - 4202

Тоді отримаємо
2 2 2
 dx   dy   dz  1
1 2            dxdu2  2 dydv 2 dvdw 
r 2
 dr   dr   dr  dr
.
Підставляємо сюди вирази для повних
2
диференціалів переміщень и, v і w, враховуємо, що: l +
дх дy дz
m + п = 1 ; а також: , l   m ,  ; n застосовуючи
2
2
дr дr дr
залежності (7.6), отримаємо
2
2
2
   l   m   n   l m  m n  l n . (7.9)
r х y z xy yz zx
Порівнюючи вирази для лінійної деформацій  r (7.9)
та для нормального напруженняи  N (6.1) у тому ж
напрямку, бачимо, що вони за структурою однакові і
вираз (7.9) можна отримати з формули (6.1) шляхом
заміни позначень  на 
1
та  на  із збереженням структури виразу.
2
Користуючись такою заміною, можна отримати всі
формули теорії деформації з аналогічних формул теорії
напружень. Зокрема, деформований стан в точці
пружного тіла визначається матрицею компонентів
тензора деформацій:
 , 1  , 1 
x 2 xy 2 xz
Т  1 2  ,  , 1 2  , (7.10)
e
yx
y
yx
1  , 1  , 
2 zx 2 xy z

7.3 Диференціальні рівняння сумісності
деформацій.
З рівнянь Коші (7.6) бачимо, що якщо задано три
функції переміщень и, v і w, то однозначно будуть
визначені усі шість складових деформацій. Проте
задавати переміщення и, v і w, чи відповідно шість
складових деформацій, довільно не можна. Вони
зв’язані додатковими залежностями – рівняннями
сумісності. Це видно із складових деформацій (7.6), які

106