Page 241 - 4195

Y та X нелінійна по параметрам. В такому випадку, по
можливості, необхідно звести нелінійну модель до ліній-
ної шляхом перетворення змінних. Це значно спрощує
обчислення оцінок параметрів по методу найменших
квадратів, але при цьому слід прийняти до уваги, що мі-
німізована буде сума квадратів відхилень перетворених
даних. Відповідно властивості МНК – оцінок будуть за-
лежати від умов, яким задовольняють перетворені змінні.

Приклад 3.2 Залежність між змінними y та x має
вигляд
1
y  . (3.28)
a  a 1 x
0
Модель (3.28) нелінійна по параметрам a 0 a , 1 . По-
1
значимо  z . Тоді отримаємо
y
z  a  a 1 x,
0
і ця модель лінійна по параметрам.
Розглянемо загальний випадок, коли змінні y та x
зв’язані залежністю
y   a  b ij g    ij (3.29)
x
ij
i
j
і для функції  x існує обернена функція  u .
Застосувавши до (3.29) перетворення  u і позна-
чивши     y , отримаємо лінійне (відносно парамет-
i
рів a та b ) рівняння регресії
ij
ij
 i  a  b ij g    ij .
x
j
ij
Оцінки параметрів мають вигляд
S
€
x
b  r ij i , a €   i  b ij g  ,
ij
j
ij
S j
де r - вибірковий коефіцієнт кореляції для перетворених
ij
величин:  i g ,  x - оцінки математичних сподівань пе-
j
241