Page 232 - 4195

Задача підбору степені апроксимуючої параболічної
регресії спрощується при використанні ортогональних
багаточленів Чєбишева.
Система функцій  0    ,...,x,x  1  k 1  x називаєть-
ся ортогональною на множині x 1 ,..., x , якщо
n
n
  m  x i     0x  , m  ;  m ,  1 , 0 ,..., k  1.
i
i 1
Припустимо  ,x i y i  i,  n , 1 - результати спостере-
жень змінних x та Y . Оцінки параметрів лінійної апро-
ксимуючої моделі
y  a  0   ax  1  1   ...x   a k 1  k 1  x , (3.25)
0
визначені методом найменших квадратів при викорис-
танні ортогональної системи функцій
 j   j,x  1 , 0 ,..., k  1 дорів-нюють
 n  n
a €    y  j     2 j  ,x i j  1 , 0 ,..., k  1.
x
i 

j
i
 i 1  i 1
Якщо похибки спостережень  незалежні і норма-
i
льні з параметрами  ,0  2 , то МНК – оцінки параметрів
мають мінімальні дисперсії, сумісно ефективні та розпо-
ділені нор-мально.
У випадку, коли точки x рівновіддалені, викорис-
i
товують ортогональні багаточлени Чєбишева:
n  1
 0  , 1  1   xx   ,
2
а багаточлени вищого порядку визначаються за рекурен-
тною формулою
2
m 2 n  m 2 
 m 1  x   1  x  m  x   m 1  x .
4  m4 2   1
При обчисленнях з використанням табульованих значень
ортогональних багаточленів p k  i   k  k  x , де
i
232