Page 35 - 80

y y
  a  2 a 2 (c 2  ) 1
2
чи x  a x  a  c 2 , x   y     2 – це кола з центром в точці

y 2  c 2  c 2
1 2
(x  a )(x  ) a
a с 2  1 2a
2
2
2
2
2
2
x o=0, y o=a/с і радіусом 2 ; v= де r 1 =(x–σ) +y , r 1 =(x–a) +y ; маємо
2
c r r
2 1 2
потік від джерела до стоку, відстань між якими 2σ.
Задача 110. У пласті існує фільтраційний потік, який описується характе-
ристичною функцією F 1(z) = a z + c 1, де z - комплексна змінна; a, c 1 – константи.
На цей потік накласти потік зі стоком у початку координат, який описується
характеристичною функцією F 2(z) = A ln z + c 2, де A, c 2 – константи. Необхідно
встановити результуючу характеристичну функцію, потенціал Ф(x, y) і функцію

течії (x, y), рівняння ізобар, ліній течії і модуля комплексної швидкості філь-
трації, а також побудувати сім’ю ліній течії результуючого фільтраційного пото-

ку. Методичні вказівки: 1. Дослідити задані характеристичні функції, встанови-
ти характер описаних ними потоків та визначити величини постійних а і А (див.

задачі 106 і 108). 2. Використати принцип суперпозиції і вивести результуючу
i
характеристичну функцію F(z). 3. Підставити z = re = r(cos + іsin) у F(z),
виділити дійсну та уявну частини і записати Ф(x, y), (x, y) та рівняння ізобар і

лінії течії, при цьому радіус r визначити за теоремою Піфагора, а кут  – із
виразу для його тангенса через декартові координати для довільної точки.
4. Модуль комплексної швидкості фільтрації визначити за її складовими. 5. Для

побудови сім’ї ліній течії надати константі різні значини, знайшовши відповідні

значини декартових координат, а точки із знайденими декартовими коорди-
натами для конкретної заданої значини з’єднати плавною лінією. При цьому
вісь Х розділяє потік на дві (верхню і нижню) симетричні підобласті, а одна із

ліній течії відділяє транзитний потік від потоку стока. Рівняння цієї лінії буде
q q
vr sinи  и  , а складається вона з двох частин: одна за  =π є додатня
2  2
піввісь Х до точки з координатою x o = q/(2πv), а друга – крива, яка описується
q р  
рівнянням r .
2  sinv 
q q
Відповідь: F( z )  vz  ln z  c ; Ц   vrcos   ln r  c або
2  2 
q q q y
2
2
Ц   vx  ln x  y ;    vrsin     c  або    vy  arctg ;
2 2  2 x
q q y qv x q 2 1
2
2
2


c   vx  ln x  y ; c   vy  arctg ; v  v   .
1 2 o
2
2
2 2 x  x  y 2 4 2 x  y 2
33