Page 34 - 80

Задача 108. Дослідити характеристичну фунцію F(z) = alnz + c плоского
фільтраційного потоку, тобто встановити потенціал Ф(x, y), функцію течії

(x, y) рівняння ізобар, ліній течії і модуля швидкості фільтрації, а також

охарактеризувати гідродинамічне поле фільтраційного потоку, де a, c – конс-
танти; z – комплексна змінна; x, y – просторові координати. Методичні вказівки:

i
1. Підставити z = r e в F(z), виділити дійсну та уявну частини і записати
Ф(x, y), (x, y) та рівняння ізобар і ліній течії 2. За означенням знайти модуль

швидкості фільтрації через характеристичну функцію. 3. Використовуючи
граничні умови, знайти величину постійної а.

2
2 1/2
Відповідь: Ф=a lnr+с′; =а+с″, де r= (х +у ) ,  – кут, який

визначається з рівняння z = r ехр(і); r=const;  = const; =а /r; а = q/2π;
фільтраційний потік є плоскорадіальним з відповідним гідродинамічним полем.
z 
Задача 109. Дослідити характеристичну фунцію F   az  ln  c
z 
плоского фільтраційного потоку, тобто встановити потенціал Ф(x, y), функцію

течії (x, y), рівняння ізобар, ліній течії і модуля швидкості фільтрації, а також

охарактеризувати гідродинамічне поле фільтраційного потоку, де a, c – конс-

танти; z – комплексна змінна; x, y – просторові координати. Методичні вказівки:
1. Різні комплексні числа в F(z) подати в полярних координатах виразами типу r

i
e з різними r і , підставити їх у F(z), виділити дійсну та умовну частини і
записати Ф(x, y), (x, y) та рівняння ізобар і ліній течії, визначивши радіуси за
теоремою Піфагора, а кути – із виразу для тангенса відповідного кута через

декартові координати для довільної точки. Графічне зображення дасть змогу

уникнути помилки. 2. Модуль швидкості фільтрації визначити за її означенням

через характеристичну функцію.
r r
Відповідь: Ц  a ln 1  c  ; Ψ=а( 1– 2)+с; 1  c або
1
r 2 r 2
2 2 2
r 2 (x  ) a  y
1
 c 1  c  – це кола з центром у точці з координатами
r 2 2 (x  ) a 2  y 2
1  c c  y   y 
x  a , у 0=0 та радіусом 2a ;  1– 2=с 2 або arctg   arctg   c
2
0
1  c 1 (  ) c  x  a   x  a 

32