Page 13 - 6091

Поняття фракталу запропоновано Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення
нерегулярних, але подібних самих собі структур. Використавши наукові результати інших
учених, що працювали в період 1875-1925 років у тій же галузі (Пуанкаре, Фату, Жюліа,
Кантор, Хаусдорф) та об’єднавши їх в єдину систему Б.Мандельброт видав у 1977 році книгу
“The Fractal Geometry of Nature”. Вона вважається основою фрактальної геометрії.
Фрактальна геометрія дозволяє задати лінії і поверхні дуже складної форми за
допомогою декількох коефіцієнтів. З погляду машинної графіки фрактальна геометрія
незамінна при генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Отже, знайдений спосіб легкого
представлення складних неевклідових об’єктів, образи яких подібні на природні, так як
фрактальні властивості притаманні багатьом об’єктам живої і неживої природи. Звичайна
сніжинка, багаторазово збільшена, виявляється фрактальним об’єктом. Фрактальні
алгоритми лежать в основі реальних процесів.
Отже, однією з основних властивостей фракталів є подібність самих собі. У
найпростішому випадку невелика частина фрактала містить інформацію про весь фрактал.
Визначення фрактала, дане Мандельбротом, звучить так: “Фракталом називається
структура, яка складається з частин, що подібні цілому”. Вони діляться на геометричні,
алгебраїчні та стохастичні.
Реалістичність об’єків, невеликий об’єм пам’яті для їх зберігання та можливість
надавання їм динаміки робить фрактальну геометрію зручною для мультиплікації та
створення віртуальної реальності.
Геометричні фрактали отримують шляхом простих геометричних побудов. Береться
елемент, наприклад, набір відрізків. До нього застосовують правила, які перетворюють його
в геометричну фігуру.
Фрактали цього класу найнаочніші. У двомірному випадку їх отримують за допомогою
деякої ламаної (чи поверхні в трьохмірному випадку), яка називається генератором. За один
крок алгоритму кожен із відрізків, які складають ламану, замінюється на ламану-генератор, у
відповідному масштабі. У результаті безкінечного повторення цієї процедури, отримується
геометричний фрактал.
Для побудови геометричних фрактальних кривих використовуються рекурсивні
алгоритми. Рекурсія використовується при рішенні задач, які можуть бути розкладені на
підзадачі. Таким чином, застосування рекурсії доцільне при побудові фрактальних кривих,
оскільки вони мають таку властивість як самоподібність.
Прикладом такого фрактального об’єкта є тріадна крива Кох (рис. 1.9). На ньому
подано три покоління кривої. При n прямуючому до безкінечності крива Коха стає
фрактальним об’єктом.

Рисунок 1.9 - Побудова триадної кривої Кох

У машинній графіці застосовують геометричні фрактали для отримання зображень
дерев, кущів, берегової лінії. Двомірні геометричні фрактали застосовуються для створення
об’ємних текстур.

12